Question

函數y=log_a（x+3）-1（a＞0且a≠1）的圖象恒過定點A，若點A在直線mx+ny+1=0上，其中mn＞0，則

1

m

+

1

n

的最小值為

 

．

Answer 1

考點：基本不等式在最值問題中的應用,對數函數的單調性與特殊點

專題：計算題,不等式的解法及應用

分析：根據對數函數的性質先求出A的坐標，代入直線方程可得m、n的關系，再利用1的代換結合均值不等式求解即可．

解答： 解：∵x=-2時，y=log_a1-1=-1，
∴函數y=log_a（x+3）-1（a＞0，a≠1）的圖象恒過定點（-2，-1）即A（-2，-1），
∵點A在直線mx+ny+1=0上，
∴-2m-n+1=0，即2m+n=1，
∵mn＞0，
∴m＞0，n＞0，

1

m

+

1

n

=（

1

m

+

1

n

）（2m+n）=3+

n

m

+

2m

n

≥3+2

2

，
當且僅當

n

m

=

2m

n

時取等號，

1

m

+

1

n

的最小值為3+2

2

．
故答案為：3+2

2

．

點評：本題考查了對數函數的性質和均值不等式等知識點，運用了整體代換思想，是高考考查的重點內容．