Question

19．一個袋中裝有黑球，白球和紅球共n（n∈N^*）個，這些球除顏色外完全相同．已知從袋中任意摸出1個球，得到黑球的概率是$\frac{2}{5}$．現從袋中任意摸出2個球．
（Ⅰ） 用含n的代數式表示摸出的2球都是黑球的概率，并寫出概率最小時n的值．（直接寫出n的值）
（Ⅱ） 若n=15，且摸出的2個球中至少有1個白球的概率是$\frac{4}{7}$，設X表示摸出的2個球中紅球的個數，求隨機變量X的分布列和數學期望．

Answer 1

分析 （Ⅰ）依題意有$\frac{2}{5}n$個黑球，記“摸出的2球都是黑球”為事件A，利用排列組合知識求出P（A）=$\frac{4n-10}{25n-25}$，從而求出P（A）最小時n=5．
（Ⅱ）依題意有$\frac{2}{5}×15$=6個黑球，設袋中白球的個數為x個，記“從袋中任意摸出兩個球到少得到一個白球”為事件B，由對立事件概率計算公式求出袋中紅球的個數為4個，機變量X的取值為0，1，2，分別求出相應的概率，由此能求出X的分布列和EX．

解答 解：（Ⅰ）依題意有$\frac{2}{5}n$個黑球，記“摸出的2球都是黑球”為事件A，
則P（A）=$\frac{{C}_{\frac{2}{5}n}^{2}}{{C}_{n}^{2}}$=$\frac{\frac{2}{5}n（\frac{2}{5}n-1）}{n（n-1）}$=$\frac{4n-10}{25n-25}$
∴P（A）最小時n=5．
（Ⅱ）依題意有$\frac{2}{5}×15$=6個黑球，
設袋中白球的個數為x個，
記“從袋中任意摸出兩個球到少得到一個白球”為事件B，
則P（B）=1-$\frac{{C}_{15-x}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{4}{7}$，整理，得：x²-29x+120=0，
解得x=5或x=24（舍），
∴袋中紅球的個數為4個，機變量X的取值為0，1，2，
P（X=0）=$\frac{{C}_{11}^{2}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{11}{21}$，
P（X=1）=$\frac{{C}_{4}^{1}{C}_{11}^{1}}{{C}_{15}^{2}}$=$\frac{44}{105}$，
P（X=2）=$\frac{{C}_{4}^{2}}{{C}_{15}^{2}}=\frac{2}{35}$，
∴X的分布列為：

X	0	1	2
P	$\frac{11}{21}$	$\frac{44}{105}$	$\frac{2}{35}$

EX=$\frac{11}{21}×0+\frac{44}{105}×1+\frac{2}{35}×2=\frac{8}{15}$．

點評 本題考查概率的求法，考查離散型隨機變量的分布列、數學期望等基礎知識，考查運算求解能力、數據處理能力，考查化歸與轉化思想、函數與方程思想，是中檔題．