Question

8．在△ABC中，A、B、C所對的邊分別為a、b、c，已知a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，且acsinB=2$\sqrt{3}$sinC，則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=3．

Answer 1

分析 根據余弦定理和正弦定理將條件進行化簡，結合向量數量積的定義進行求解即可．

解答 解：在△ABC中，∵a²+b²-c²=$\sqrt{3}$ab，
∴由余弦定理得cosC=$\frac{{a}^{2}+{b}^{2}-{c}^{2}}{2ab}$=$\frac{\sqrt{3}ab}{2ab}=\frac{\sqrt{3}}{2}$，
則C=$\frac{π}{6}$，
∵acsinB=2$\sqrt{3}$sinC，
∴由正弦定理得ac•b=2$\sqrt{3}$c，
即ab=2$\sqrt{3}$，
則$\overrightarrow{CA}$•$\overrightarrow{CB}$=|$\overrightarrow{CA}$|•|$\overrightarrow{CB}$|cosC=abcosC=2$\sqrt{3}$×$\frac{\sqrt{3}}{2}$=3，
故答案為：3．

點評 本題主要考查向量數量積的求解，根據正弦定理和余弦定理進行化簡是解決本題的關鍵．考查學生的轉化能力．