Question

已知函數f（x）=|sinx|的圖象與直線y=kx （k＞0）有且僅有五個公共點，公共點的橫坐標的最大值為α，
證明：

cos4α-sin4α

sin2α+cos2α-1

=

1+α

2α

．

Answer 1

分析：f（x）的圖象與直線y=kx（k＞0）有且僅有三個公共點時，如圖所示，且在（π，

3

2

π）內相切，其切點為
A（α，-sinα），利用導數的幾何意義得出：-cosα=

-sinα

α

，可得α=tanα，再化簡欲證等式的左邊，即可得出結論．

解答：證明：函數f（x）=sinx的圖象關于原點對稱，直線y=kx過原點，
所以f（x）=sinx的圖象與直線y=kx（k＞0）在[0，+∞）上有三個公共點如圖所示，
且在（π，

3π

2

）內相切，其切點為A（α，-sinα），
α∈（π，

3π

2

）．  …（5分）
由于f′（x）=-cosx，x∈（π，

3π

2

），所以，-cosα=-

sinα

α

，即 α=tanα．  …（8分）
因此，

cos4α-sin4α

sin2α+cos2α-1

=

cos2α-sin 2

2sinαcosα-2sin2α

=

1-tan2α

2tanα-2tan2α

=

1-a2

2a-2a2

=

1+a

2a

=右邊，
故等式成立． …（13分）

點評：本小題主要考查函數單調性的應用、利用導數研究曲線上某點切線方程、函數恒成立問題等基礎知識，考查運算求解能力，考查數形結合思想、化歸與轉化思想．屬于中檔題．