Question

【題目】對于無窮數列，“若存在，必有”，則稱數列具有性質.

（1）若數列滿足，判斷數列是否具有性質？是否具有性質？

（2）對于無窮數列，設，求證：若數列具有性質，則必為有限集；

（3）已知是各項均為正整數的數列，且既具有性質，又具有性質，是否存在正整數，，使得，，，…，，…成等差數列.若存在，請加以證明；若不存在，說明理由.

Answer 1

【答案】（1）見解析；

（2）見解析；

（3）見解析.

【解析】

（1）根據題中所給的條件，利用定義判斷可得數列不具有性質，具有性質；

（2）根據數列具有性質，得到數列元素個數，從而證得結果；

（3）依題意，數列是各項為正數的數列，且既具有性質，又具有性質，可證得存在整數，使得是等差數列.

（1）因為，

，但，所以數列不具有性質，

同理可得數列具有性質；

（2）因為數列具有性質，

所以一定存在一組最小的且，滿足，即，

由性質的含義可得，，，，

所以數列中，從第項開始的各項呈現周期性規律：

為一個周期中的各項，

所以數列中最多有個不同的項，

所以最多有個元素，即為有限集；

（3）因為數列具有性質，又具有性質，

所以存在，使得，

其中分別是滿足上述關系式的最小的正整數，

由性質的含義可得，

若，則取，可得，

若，則取，可得，

記，則對于，

有，顯然，

由性質的含義可得：，

所以

，

所以，

又滿足的最小的正整數，

所以，，

所以，

所以，

取，所以，若是偶數，則，

若是奇數，

則，

所以，，

所以是公差為1的等差數列.