Question

已知函數的定義域為，且,，
當，且，時恒成立.
（1）判斷在上的單調性；
（2）解不等式；
（3）若對于所有，恒成立，求的取值范圍.

Answer 1

（1）詳見解析；（2）；（3）

解析試題分析：（1）將賦予，即將轉化為，根據可知，即，根據單調性的定義可得函數在上的單調性。（2）由（1）知在上是單調增函數，根據單調性可得自變量的大小關系，同時自變量應在所給的定義域內，有以上不等式組組成的不等式組可得所求不等式的解集。（3）恒成立即恒成立，用函數的單調性可求其最值。將問題轉化為關于的一元二次不等式恒成立問題，因為，又可將上式看成關于的一次不等式，討論單調性即可得出。
試題解析：解：（1）∵當，且，時恒成立，
∴，  ∴ ，    2分
∴時，∴ ，
時，∴     4分
∴在上是單調增函數        5分
（2）∵在上是單調增函數，且
∴ ，    7分
解得     8分
故所求不等式的解集     9分
（3）∵在上是單調增函數，，
∴，     10分
若對于所有，恒成立，
則，恒成立，    11分
即，恒成立，
令，
要使在恒成立，
則必須，解得，或    13分
則的取值范圍是    14分
考點：1函數單調性的定義；2用單調性求函數的最值。