Question

已知函數(shù)f(x)=

1

3

mx3-(2+

m

2

)x2+4x+1
（1）若在點（-1，f（-1））處的切線與直線y=-

1

2

x+8垂直，求m的值；
（2）當(dāng)m≠0時，求函數(shù)f（x）的單調(diào)遞增區(qū)間．

Answer 1

分析：（1）求導(dǎo)數(shù)，利用在點（-1，f（-1））處的切線與直線y=-

1

2

x+8垂直，得到f'（-1）=2，然后求解．
（2）求導(dǎo)數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)的遞增區(qū)間．

解答：解：（1）f'（x）=mx²-（4+m）x+4，因為在點（-1，f（-1））處的切線與直線y=-

1

2

x+8垂直，
所以f'（-1）=2m+8=2，故m=-3---------------------------（4分）
（2）f′(x)=mx2-(4+m)x+4=m(x-

4

m

)(x-1)
①當(dāng)

4

m

＞1，即0＜m＜4時，單調(diào)增區(qū)間為(-∞，1)，(

4

m

，+∞)----------------（6分）
②當(dāng)m=4時，單調(diào)增區(qū)間為（-∞，+∞）-------------------------------（8分）
③當(dāng)0＜

4

m

＜1即m＞4時，單調(diào)增區(qū)間為(-∞，

4

m

)，(1，+∞)----------------（10分）
④當(dāng)m＜0時，單調(diào)增區(qū)間(

4

m

，1)-----------------------------------------（12分）

點評：本題主要考查導(dǎo)數(shù)的幾何意義以及利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的單調(diào)性，綜合性較強(qiáng)．