Question

12．已知AB為半圓O的直徑，C為半圓上一點，CD是半圓的切線，AC平分∠BAD，AD交半圓于點E．
（Ⅰ）求證：AD⊥CD；
（Ⅱ）若AB=5，DE=1，求AE的長．

Answer 1

分析 （Ⅰ）連接OC，則OC⊥CD，由OA=OC可得∠OAC=∠OCA，即可得到∠DAC=∠OCA，再根據平行線的性質即可得到結果；
（Ⅱ）連接CE，證得△DEC～△CBA，求出DC，根據切割線定理即可求得結果．

解答 （Ⅰ）證明：連接OC，則OC⊥CD．
∵OA=OC，
∴∠OAC=∠OCA，
又∠OAC=∠DAC，
∴∠DAC=∠OCA，
∴AD∥OC，
∴AD⊥CD．
（Ⅱ）連接CE，∵AC平分∠BAD，
∴EC=CB，
∵∠DEC=∠CBA，
∴△DEC～△CBA，
∴$\frac{DE}{CB}=\frac{EC}{AB}$，
∴EC=$\sqrt{5}$，
∴DC=$\sqrt{E{C}^{2}-D{E}^{2}}$=2，
∵DC²=DE•DA，∴DA=4，
∴EA=3．

點評 本題考查圓的切線的性質，考查三角形相似的證明，考查切割線定理，考查學生分析解決問題的能力，屬于中檔題．