Question

設函數 （a、b、c、d∈R）圖象關于原點對稱，且x=1時，取極小值

（1）求a、b、c、d的值；

（2）當時，圖象上是否存在兩點，使得過此兩點處的切線互相垂直？試證明你的結論；

（3）若時，求證：．

 

Answer 1

【答案】

（1）；（2）當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立． 證明見解析；

（3）證明見解析。

【解析】

試題分析：（1）∵函數圖象關于原點對稱，∴對任意實數，

，即恒成立

 ，

時，取極小值，解得 

   （2）當時，圖象上不存在這樣的兩點使結論成立．

假設圖象上存在兩點、，使得過此兩點處的切線互相垂直，

則由知兩點處的切線斜率分別為，

且…………（*）

、，

此與（*）相矛盾，故假設不成立．

證明（3），

或，

上是減函數，且 

∴在[－1，1]上，時，

考點：本題主要考查導數的幾何意義，研究函數的單調性，求函數的極值，不等式證明。

點評：綜合題，以函數為載體，通過應用導數知識，對函數極值、直線的位置關系、不等式的證明等進行了全面考查。