Question

已知⊙C：x²+y²-2x-2y+1=0，直線l與⊙C相切且分別交x軸、y軸正向于A、B兩點，O為坐標原點，且|OA|=a，|OB|=b（a＞2，b＞2）．
（Ⅰ）求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅱ）求△ABC面積的極小值．

Answer 1

分析：設A（a，O），B（O，b）．直線AB的方程為bx+ay-ab=0，推出a，b的關系
（Ⅰ）設出AB的中點P的坐標，推出a，b與P的坐標的關系，代入a，b的關系，求線段AB中點的軌跡方程；
（Ⅱ）求出ab的范圍，通過三角形的面積公式，利用基本不等式，即可求△ABC面積的極小值．

解答：解：⊙C：（x-1）²+（y-1）²=1，A（a，O），B（O，b）．
設直線AB的方程為
bx+ay-ab=0，∵直線AB與⊙C相切，
∴

|b+a-ab|

a2+b2

=1⇒ab-2(a+b)+2=0①…（2分）
（Ⅰ）設AB中點P（x，y），則x=

a

2

，y=

b

2

⇒a=2x，b=2y
代入①得P點的軌跡方程：2xy-2x-2y+1=0，∵a＞2，∴x＞1．
∴P點的軌跡方程為（x-1）（y-1）=

1

2

（x＞1）．…（7分）
（Ⅱ）由①得ab=2(a+b)-2≥4

ab

-2⇒ab-4

ab

+2≥0⇒

ab

≥2+

2

，
當且僅當a=b=2+

2

時等號成立．
S_△AOB=

1

2

ab≥3+2

2

．…（12分）

點評：本題考查軌跡方程的求法，點到直線的距離與基本不等式的應用，考查分析問題解決問題能力．