Question

已知C：x²+y²+2x-4y+3=0．圓C外有一動點P，點P到圓C的切線長等于它到原點O的距離，
（1）求點P的軌跡方程．
（2）當點P到圓C的切線長最小時，切點為M，求∠MPC的值．

Answer 1

分析：（1）設出點P的坐標，利用圓的方程可求得圓心和半徑，根據題意可知PM|²=|PC|²-r²，求得x和y的關系式，則點P的軌跡方程可得．
（2）根據題意可知P到圓C的切線最小時，即P到原點的距離最小，此時OP所在的直線垂直于2x-4y+3=0，求得點P的坐標，進而利用點到直線的距離求得|PC|，進而在Rt△MPC中求得sin∠MPC，利用反三角函數求得∠MPC．

解答：解：（1）設點P的坐標（x，y）
由圓的方程可知圓心為（-1，2），
r²=2，且|PM|²=|PC|²-r²，
（x+1）²+（y-2）²-2=x²+y²，
整理得2x-4y+3=0
（2）到P到圓C的切線最小時，即P到原點的距離最小，此時OP所在的直線垂直于
2x-4y+3=0，故點P（-

3

10

，

3

，5

），
此時|PC|=

7 5

10

，sin∠MPC=

2

7 5 10

=

2 10

7

∴∠MPC=arcsin

2 10

7

點評：本題主要考查了直線與圓的方程的綜合運用．考查了學生基本推理能力，數形結合的思想的運用，基本的計算能力．