Question

袋中的若干個黑球，3個白球，2個紅球（大小相同），從中任取2個球，每取得一個黑球得0分，每取一個白球得1分，每取一個紅球得2分，已知得0分的概率為

1

6

，用ξ表示得分，求：
（1）袋中黑球的個數；
（2）ξ的概率分布列和數學期望．

Answer 1

分析：（1）本題是一個等可能事件的概率，寫出試驗發生包含的事件數和滿足條件的事件數，根據得0分的概率為

1

6

，設出黑球的個數，列出概率的表示式，得到關于n的一元二次方程，解方程即可．
（2）由題意知ξ表示得分，ξ的可能取值是0，1，2，3，4，結合變量對應的事件，根據等可能事件的概率公式得到變量的概率，寫出分布列，做出期望值．

解答：解：（1）由題意知本題是一個等可能事件的概率，
根據得0分的概率為

1

6

，
設袋中黑球的個數為n，則p(ξ=0)=

C 2 n

C 2 n+5

=

1

6

化簡得n²-3n-4=0，解得n=4或n=-1（舍去），
∴有4個黑球
（2）由題意知ξ表示得分，ξ的可能取值是0，1，2，3，4
根據等可能事件的概率公式得到
p(ξ=0)=

1

6

，p(ξ=1)=

C 1 4 • C 1 3

C 2 9

=

1

3

，p(ξ=2)=

C 2 3 + C 1 2 • C 1 4

C 2 9

=

11

36

p(ξ=3)=

C 1 3 • C 1 2

C 2 9

=

1

6

，p(ξ=4)=

C 2 2

C 2 9

=

1

36

∴ξ的分布列為

∴Eξ=0×

1

6

+1×

1

3

+2×

11

36

+3×

1

6

+4×

1

36

=

14

9

點評：本題考查離散型隨機變量的分布列和期望，考查等可能事件的概率，考查利用概率知識解決實際問題，是一個綜合題目，這種題目可以作為大型考試中的解答題目出現．