Question

4．已知函數(shù)f（x）=asinx-bcosx（a，b為常數(shù)，a≠0，x∈R）在x=$\frac{π}{4}$處取得最大值，則函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{4}$）是（　　）

• A． 奇函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱
• B． 偶函數(shù)且它的圖象關于點（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
• C． 奇函數(shù)且它的圖象關于點（$\frac{3π}{2}$，0）對稱
• D． 偶函數(shù)且它的圖象關于點（π，0）對稱

Answer 1

分析 將已知函數(shù)變形f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x-φ），根據(jù)f（x）=asinx-bcosx在x=$\frac{π}{4}$處取得最大值，求出φ的值，化簡函數(shù)，即可得出結(jié)論．

解答 解：將已知函數(shù)變形f（x）=asinx-bcosx=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x-φ），其中tanφ=$\frac{a}$，
又f（x）=asinx-bcosx在x=$\frac{π}{4}$處取得最大值，
∴$\frac{π}{4}$-φ=2kπ+$\frac{π}{2}$（k∈Z）得φ=-$\frac{π}{4}$-2kπ（k∈Z），
∴f（x）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+$\frac{π}{4}$），
∴函數(shù)y=f（x+$\frac{π}{4}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$sin（x+$\frac{π}{2}$）=$\sqrt{{a}^{2}+^{2}}$cosx，
∴函數(shù)是偶函數(shù)且它的圖象關于點（$\frac{3π}{2}$，0）對稱．
故選：B．

點評 本題考查三角函數(shù)的化簡與性質(zhì)，考查學生對奇偶函數(shù)的基本知識的了解，屬于中檔題．