Question

正方體ABCD-A₁B₁C₁D₁的棱長為a，E是棱AB的中點，F是棱CD的中點．
（1）求證：直線B₁F∥平面D₁DE；
（2）求二面角C₁-BD₁-B₁的大小；
（3）若點P是棱AB上的一個動點，求四面體DP₁C₁體積的最大值．

Answer 1

考點：棱柱、棱錐、棱臺的體積,直線與平面平行的判定,二面角的平面角及求法

專題：空間位置關系與距離

分析：（1）取棱A₁B₁的中點E₁，連結E₁D，由已知得四邊形DFB₁E₁為平行四邊形，由此能證明B₁F∥平面D₁DE．
（2）取A₁C₁與B₁D₁的交點O₁，在平面BB₁D₁D上作O₁H⊥BD₁，重足為H，連結HC₁，∠O₁HC₁是所求二面角的平面角，由此能求出二面角C₁-BD₁-B₁的大小．
（3）延長BA到M，使AM=AB，連結MD，則四邊形MACD是平行四邊形，當動點P與B重合時，P到平面DA₁C₁的距離最大，四面體DPA₁C₁體積最大．此時四面體DPA₁C₁為正四面體，由此能求出四面體DP₁C₁體積的最大值．

解答： （1）證明：取棱A₁B₁的中點E₁，連結E₁D．
∵B₁E₁∥DF且相等，
∴四邊形DFB₁E₁為平行四邊形，∴B₁F∥DE₁．
又∵B₁F不包含于平面D₁DE，DE₁?平面D₁DE，
∴B₁F∥平面D₁DE．
（2）解：取A₁C₁與B₁D₁的交點O₁，
在平面BB₁D₁D上作O₁H⊥BD₁，重足為H，
連結HC₁．∵C₁O₁⊥B₁D₁，平面BB₁D₁D⊥平面A₁B₁C₁D₁，
∴C₁O₁⊥平面BB₁D₁D，∴C₁H⊥BD₁，
即∠O₁HC₁是所求二面角的平面角，
又C₁O₁=

2

2

a，C1H=

BC1•D1C1

BD1

=

6

3

a，
sin∠O₁HC₁=

C1O1

C1H

=

3

2

，
∠O₁HC₁=60°，∴二面角C₁-BD₁-B₁的大小是60°．
（3）解：延長BA到M，使AM=AB連結MD，
∵AB∥DC且相等，
∴AM∥DC且相等，∴四邊形MACD是平行四邊形．
∴MD∥AC且相等，
又四邊形A₁ACC₁是平行四邊形，
∴AC∥A₁C₁且相等，
∴MD∥A₁C₁且相等，
∴MD與A₁C₁確定一個平面，即平面DA₁C₁，
∴M是直線BA與平面DA₁C₁的交點．
∴當動點P與B重合時，P到平面DA₁C₁的距離最大，
四面體DPA₁C₁體積最大．
此時四面體DPA₁C₁為正四面體，
棱長是

2

a，故四面體底面面積為

3

2

a2，高為

2 3

3

a，體積V=

1

3

a3．

點評：本題考查直線B₁F∥平面D₁DE的證明，考查二面角C₁-BD₁-B₁的大小的求法，考查四面體DP₁C₁體積的最大值的求法，解題時要認真審題，注意空間思維能力的培養．