Question

（1）求不等式-2x²-5x+3＜0的解集
（2）求直線l：3x+y-6=0被圓x²+y²-2y-4=0截得的弦長．

Answer 1

分析：（1）在不等式兩邊同時除以-1，不等號方向改變，整理后將不等式左邊的多項式分解因式后，根據兩數相乘積為正，兩因式同號，轉化為兩個不等式組，求出兩不等式組的解集，即可得到原不等式的解集；
（2）把圓的方程化為標準方程，找出圓心坐標和半徑r，利用點到直線的距離公式求出圓心到直線l的距離d，根據垂徑定理由垂直得中點，再利用勾股定理即可求出弦長．

解答：解：（1）-2x²-5x+3＜0，
變形為：2x²+5x-3＞0，
因式分解得：（2x-1）（x+3）＞0，
可化為：

2x-1＞0 x+3＞0

或

2x-1＜0 x+3＜0

，
解得：x＞

1

2

或x＜-3，
則原不等式的解集為（-∞，-3）∪（

1

2

，+∞）；
（2）把圓的方程化為標準方程得：x²+（y-1）²=5，
∴圓心坐標為（0，1），半徑r=

5

，
∴圓心到直線3x+y-6=0的距離d=

5

10

=

10

2

，
則直線l被圓截得的弦長=2

r2-d2

=

10

．

點評：此題考查了一元二次不等式的解法，以及直線與圓相交的位置關系，涉及的知識有：多項式的因式分解，兩數相乘時的取符號法則，點到直線的距離公式，圓的標準方程，垂徑定理，以及勾股定理，當直線與圓相交時，常常根據垂徑定理由垂直得中點，然后由弦長的一半，圓的半徑及弦心距構造直角三角形，利用勾股定理來解決問題．