Question

設函數f（x）=|2x+1|-|x-4|．
（1）求不等式f（x）＞2的解集；
（2）求函數f（x）的最小值．

Answer 1

分析：根據絕對值的代數意義，去掉函數f（x）=|2x+1|-|x-4|中的絕對值符號，求解不等式f（x）＞2，畫出函數函數f（x）的圖象，根據圖象求得函數f（x）的最小值．

解答：解：f（x）=

-x-5(x＜- 1 2 ) 3x-3(- 1 2 ≤x≤4) x+5(x＞4)

（1）①由

-x-5＞2 x＜- 1 2

，解得x＜-7；
②

3x-3＞2 - 1 2 ≤x≤4

，解得

5

3

＜x≤4；
③

x+5＞2 x＞4

，解得x＞4；
綜上可知不等式的解集為{x|x＜-7或x＞

5

3

}．
（2）如圖可知f（x）_min=-

9

2

．

點評：考查了絕對值的代數意義，去絕對值體現了分類討論的數學思想；根據函數圖象求函數的最值，體現了數形結合的思想．屬中檔題．