Question

定義區間（m，n），[m，n]，（m，n]，[m，n）的長度均為n-m，其中n＞m．
（1）求不等式

2x-1

x+3

＜1的解集所構成的區間的長度；
（2）若關于x的不等式2ax²-12x-3＞0的解集構成的區間的長度為

6

，求實數a的值．

Answer 1

分析：（1）求出不等式

2x-1

x+3

＜1的解集，便可得出區間的長度
（2）觀察二次項的系數帶有字母，需要先對字母進行討論，當a等于0時，看出合不合題意，a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x₂，根據根與系數之間的關系，寫出兩根的和與積，表示出區間長度，得到結果．

解答：解：（1）

2x-1

x+3

＜1化為

2x-1

x+3

-1＜0，即

x-4

x+3

＜0，同解于（x-4）（x+3）＜0，解得解集為（-3，4），區間的長度為4-（-3）=7
（2a=0時不合題意； （1分）
a≠0時，方程2ax²-12x-3=0的兩根設為x₁、x2，則x₁+x₂=

6

a

，x₁x₂=-

3

2a

，
由題意知6=|x₁-x₂|²=（x₁+x₂）²-4x₁x₂=

36

a2

+

6

a

，
解得a=-2或a=3（舍），
所以a=-2．

點評：本題是新定義問題，時間上考查二次函數的圖象與性質，二次不等式解法．新定義問題，首先認真閱讀理解所給新定義的內容與意義，在轉化為已經學過的知識和方法．