Question

【題目】如圖，在四棱錐中，側面底面，底面為矩形，

.

(1)求證： ；

（2）求直線與平面所成角的正弦值.

Answer 1

【答案】(1)證明見解析；(2) .

【解析】分析：(1)因為側面底面 ， 平面平面，由底面為矩形，可得。平面。用面面垂直的性質定理可知平面。由線面垂直的性質定理可得。(2)過點不好作平面的垂線，故求點到平面的距離。利用三棱錐的體積轉化來求，即。 由(1)可知邊 上的高即為三棱錐的底面的高，根據題的已知條件可求高及三棱錐的體積。由（1）知，可求三角形PAD的面積。利用即可求點到平面的距離。記直線與平面所成角為，則由可求得直線與平面所成角的正弦值為.

詳解：（1）證明： 側面底面 ， 平面

又平面平面，且

平面

（2）由題易知在上的高為，所以

由（1）知平面 ，所以

由（1）知，所以

記點到平面的距離為

則

因為

所以，得記直線與平面所成角為

則

所以直線與平面所成角的正弦值為.