Question

【題目】已知是拋物線:上異于原點(diǎn)的動點(diǎn)， 是平面上兩個(gè)定點(diǎn).當(dāng)的縱坐標(biāo)為時(shí)，點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為.

(1)求拋物線的方程；

（2）直線交于另一點(diǎn)，直線交于另一點(diǎn)，記直線的斜率為，直線的斜率為. 求證： 為定值，并求出該定值.

Answer 1

【答案】(1) ；(2)證明見解析.

【解析】分析：（1）由已知條件和拋物線的定義可得。可求得。故拋物線方程為 。(2)要表示斜率，應(yīng)先設(shè)出點(diǎn)的坐標(biāo)，找坐標(biāo)之間的關(guān)系，再求斜率乘積為定值。因?yàn)辄c(diǎn)， ， 在拋物線上，故可設(shè)， ， 。利用點(diǎn)和 ，求出直線的斜率，進(jìn)而求其方程為： ，將該方程與拋物線方程聯(lián)立，消得，根據(jù)兩根積求得，求出。同理可得： 。進(jìn)而求。因?yàn)?/span>，所以。求得結(jié)論。

詳解：（1）點(diǎn)到拋物線焦點(diǎn)的距離為

點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為

，得

拋物線方程為

（2）設(shè)， ，

直線的方程為： 由，得

由得，即

同理可得：

為定值