Question

【題目】已知函數f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1的圖象經過四個象限，則實數a的取值范圍為

Answer 1

【答案】（﹣∞，﹣）∪（ ， +∞）
【解析】解：∵f（x）=ax3+ax2﹣3ax+1，
∴f′（x）=ax2+2ax﹣3a=a（x﹣1）（x+3），
令f′（x）=0，
解的x=1或x=﹣3，是函數的極值點，當a＞0時，f（﹣3）是極大值，f（1）是極小值，f（﹣3）f（1）＜0，當a＜0時，f（﹣3）是極小值，f（1）是極大值，f（﹣3）f（1）＜0，
所以，要使函數f（x）的圖象經過四個象限，則f（﹣3）f（1）＜0，
∵f（﹣3）=a（﹣3）3+a（﹣3）2﹣3a（﹣3）+1=9a+1，
f（1）=a+a﹣3a+1=1﹣a，
∴（9a+1）（1﹣a）＜0，
即（a+）（a﹣）＞0，
解的a＜﹣ ， 或a＞
所以答案是：（﹣∞，﹣）∪（ ， +∞）．
【考點精析】解答此題的關鍵在于理解利用導數研究函數的單調性的相關知識，掌握一般的,函數的單調性與其導數的正負有如下關系： 在某個區間內，(1)如果，那么函數在這個區間單調遞增；(2)如果，那么函數在這個區間單調遞減，以及對函數的極值與導數的理解，了解求函數的極值的方法是:（1）如果在附近的左側,右側,那么是極大值（2）如果在附近的左側,右側,那么是極小值．