Question

（2007•廣州一模）不等式組

x-y+2≥0 x+y+2≥0 2x-y-2≤0

所確定的平面區域記為D．若點（x，y）是區域D上的點，則2x+y的最大值是

14

； 若圓O：x²+y²=r²上的所有點都在區域D上，則圓O的面積的最大值是

4

5

π

．

Answer 1

分析：先依據約束條件畫出平面區域，把問題轉化為求出可行域內的直線在y軸上的截距最大值即可．對于可行域不要求線性目標函數的最值，而是求可行域D內的點與原點（0，0）的距離的最大值，保證圓在區域D內，然后求出面積最大值．

解答：解：先根據約束條件畫出可行域，
如圖三角形ABC及其內部部分

x-y+2=0 2x-y-2=0

⇒

x=4 y=6

當直線z=2x+y過點A（4，6）時，
即當x=4，y=6時，（2x+y）_max=14．
陰影部分中離原點最近的距離為：

2 5

5

，
故r的最大值為：

2 5

5

，所以圓O的面積的最大值是：

4

5

π．
故答案為：14，

4

5

π．

點評：本題主要考查了用平面區域二元一次不等式組，以及簡單的轉化思想和數形結合的思想，屬中檔題．借助于平面區域特性，用幾何方法處理代數問題，體現了數形結合思想、化歸思想．