Question

16．已知等比數列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中項．
（1）求數列{a_n}的通項公式；
（2）記b_n=na_n，求數列{b_n}的前n項s_n．

Answer 1

分析 （1）等比數列{a_n}中，a₁=2，a₃+2是a₂和a₄的等差中項，有等比數列的首項和公比分別表示出已知條件，解方程組即可求得首項和公比，代入等比數列的通項公式即可求得結果；
（2）把（1）中求得的結果代入b_n=na_n，求出b_n，利用錯位相減法求出T_n．

解答 解：（1）設數列{a_n}的公比為q，
由題意知：2（a₃+2）=a₂+a₄，
∴q³-2q²+q-2=0，即（q-2）（q²+1）=0．
∴q=2，即a_n=2•2^n-1=2ⁿ．
（2）b_n=n•2ⁿ，
∴S_n=1•2+2•2²+3•2³+…+n•2ⁿ．①
2S_n=1•2²+2•2³+3•2⁴+…+（n-1）•2ⁿ+n•2ⁿ⁺¹．②
①-②得-S_n=2¹+2²+2³+2⁴+…+2ⁿ-n•2ⁿ⁺¹
=-2-（n-1）•2ⁿ⁺¹．
∴S_n=2+（n-1）•2ⁿ⁺¹．

點評 考查等比數列求通項公式和等差、等比中項的概念及錯位相減法求數列的前項和S_n，等差數列和等比數列之間的相互轉化，考查運算能力，屬中檔題．