Question

（2008•河西區三模）若a，b∈R，記max{a，b}=

a，(a≥b) b，(a＜b)

函數f（x）=max{|x-1|，5-x²}（x∈R），則函數f（x）的最小值是

1

．

Answer 1

分析：根據max{a，b}的定義，分類討論得到f（x）的分段函數的表達式．再由函數x＜

1- 17

2

或x＞2時，|x-1|的最小值大于1，而

1- 17

2

≤x≤2時5-x²的最小值為1，由此可得函數的最小值為1．

解答：解：①當|x-1|≤5-x²時，即-5+x²≤x-1≤5-x²，
解之得

1- 17

2

≤x≤2時，f（x）=max{|x-1|，5-x²}=5-x²，
②當x＜

1- 17

2

或x＞2時，|x-1|＞5-x²，
f（x）=max{|x-1|，5-x²}=|x-1|
綜上所述，f（x）=

|x-1|   (x＜ 1- 17 2 或x＞2) 5-x2     ( 1- 17 2 ≤x≤2)

∵x＜

1- 17

2

或x＞2時，|x-1|＞|2-1|=1

1- 17

2

≤x≤2時，5-x²的最小值為5-2²=1
∴函數f（x）的最小值是1
故答案為：1

點評：本題給出max{a，b}的定義，求函數f（x）的最小值．著重考查了一次函數、二次函數的圖象與性質和函數最值的求法等知識，屬于中檔題．