Question

【題目】由數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數．
（1）共可以組成多少個五位數？
（2）其中奇數有多少個？
（3）如果將所有的五位數按從小到大的順序排列，43125是第幾個數？說明理由．

Answer 1

【答案】
（1）解：由數字1，2，3，4，5組成無重復數字的五位數，共可以組成A55=120個五位數
（2）解：∵由1、2、3、4、5組成的無重復數字的五位數中奇數，

∴第五個數字必須從1、3、5中選出，共有C31種結果，

其余四個位置可以用四個元素在四個位置進行全排列，共有A44種結果，

根據分步計數原理得到共有C31A44=72

（3）解：根據題意，用1、2、3、4、5這五個數字組成無重復數字的五位數，有A55=120種情況，即一共有120個五位數，

再考慮大于43125的數，分為以下四類討論：

①5在首位，將其他4個數字全排列即可，有A44=24個，

②4在首位，5在千位，將其他3個數字全排列即可，有A33=6個，

③4在首位，3在千位，5在百位，將其他2個數字全排列即可，有A22=2個，

④43215，43251，43152，共3個

故不大于43251的五位數有120﹣（24+6+2﹣3）=85個，

即43125是第85項．

【解析】（1）利用全排列，可得結論；（2）由1、2、3、4、5組成的無重復數字的五位數中奇數，第五位是有限制條件的元素，第五個數字必須從1、3、5中選出，其余四個位置可以用四個元素在四個位置進行全排列；（3）根據題意，先有排列數公式求出用1、2、3、4、5這五個數字組成無重復數字的五位數的個數，再分4種情況討論分析大于43125的數個數，由間接法分析可得答案．