Question

已知O為坐標原點，A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

．
（1）求點M在第二象限或第三象限的充要條件；
（2）求證：當t₁=1時，不論t₂為何實數，A、B、M三點都共線．

Answer 1

分析：（1）由條件可得

OM

=（3t₂，t₁+3t₂），從而可得點M在第二象限或第三象限的充要條件為t₂＜0且t₁+3t₂≠0．
（2）由

OM

=t1

OA

+t2

AB

以及t₁=1可得

OM

=（1-t₂）•

OA

+t₂•

OB

，從而得到A、B、M三點共線．

解答：解：（1）由A（0，1），B(3，4)，

OM

=t1

OA

+t2

AB

，可得

OM

=t1(0，1)+t2(3，3)=（3t₂，t₁+3t₂），
故點M在第二象限或第三象限的充要條件為t₂＜0且t₁+3t₂≠0．
（2）∵

OM

=t1

OA

+t2

AB

，

OM

=t1

OA

+t2(

OB

-

OA

)=(t1-t2)

OA

+t2

OB

，t₁=1，
∴

OM

=（1-t₂•

OA

 ）+t₂•

OB

，
∴A，B，M三點共線．

點評：本題主要考查充要條件的定義，兩個向量坐標形式的運算，三點共線的條件，屬于基礎題．