Question

已知O為坐標原點，A（0，2），B（4，6），

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

．
（1）求證：當t₁=1時，不論t₂為何實數，A、B、M三點都共線；
（2）若t₁=a²，求當

OM

⊥

AB

且△ABM的面積為12時a的值．

Answer 1

分析：（1）當t₁=1時，求得

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），

AM

=

OM

-

OA

=t₂

AB

，可得不論t₂為何實數，A、B、M三點共線．
（2）當t₁=a²時，求得

OM

=（4t₂，4t₂+2a²），

AB

=（4，4），再根據

OM

⊥

AB

求得t₂=-

1

4

a²，|

AB

|=4

2

，點M到直線AB：x-y+2=0的距離d=

2

|a²-1|．
再由S_△ABM=12求得a的值．

解答：解：（1）證明：當t₁=1時，

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），由題意知

OM

=（4t₂，4t₂+2）．
∵

AM

=

OM

-

OA

=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂

AB

，
∴不論t₂為何實數，A、B、M三點共線．
（2）當t₁=a²時，

OM

=（4t₂，4t₂+2a²）．
又∵

AB

=（4，4），

OM

⊥

AB

，∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-

1

4

a²．
∴

OM

=（-a²，a²）．又∵|

AB

|=4

2

，
點M到直線AB：x-y+2=0的距離d=

|-a2-a2+2|

2

=

2

|a²-1|．
∵S_△ABM=12，
∴

1

2

|

AB

|•d=

1

2

×4

2

×

2

|a²-1|=12，解得a=±2，故所求a的值為±2．

點評：本題主要考查兩個向量坐標形式的運算，三點共線的條件，兩個向量垂直的性質，點到直線的距離公式的應用，屬于中檔題．