Question

已知O為坐標原點，A（0，2），B（4，6），

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

．
（1）求點M在第二或第三象限的充要條件；
（2）求證：當t₁=1時，不論t₂為何實數，A、B、M三點都共線；
（3）若t₁=a²，求當

OM

⊥

AB

且△ABM的面積為12時，a的值．

Answer 1

分析：（1）由條件求出點M的坐標，利用點M在第二或第三象限的充要條件為橫坐標小于0，縱坐標不等于0，得到結果．
（2）由條件求出

AM

 的坐標，證明

AM

 等于一個實數與

AB

的乘積，即

AM

∥

AB

，即證明了A、B、M三點共線．
（3）先求出

AB

的坐標，用點到直線的距離公式求出點M到直線AB的距離，由三角形面積等于12解出a的值．

解答：解：（1）

OM

=t₁

OA

+t₂

AB

=t₁（0，2）+t₂（4，4）=（4t₂，2t₁+4t₂）．
當點M在第二或第三象限時，等價于

4t2＜0 2t1+4t2≠0.

，故所求的充要條件為t₂＜0且t₁+2t₂≠0．
（2）證明：當t₁=1時，由（1）知

OM

=（4t₂，4t₂+2）．
∵

AB

=

OB

-

OA

=（4，4），

AM

=

OM

-

OA

=（4t₂，4t₂）=t₂（4，4）=t₂

AB

，
∴不論t₂為何實數，A、B、M三點共線．
（3）當t₁=a²時，

OM

=（4t₂，4t₂+2a²）． 又∵

AB

=（4，4），

OM

⊥

AB

，
∴4t₂×4+（4t₂+2a²）×4=0，∴t₂=-

1

4

a²，∴

OM

=（-a²，a²）．又∵|

AB

|=4

2

，
點M到直線AB：x-y+2=0的距離d=

|-a2-a2+2|

2

=

2

|a²-1|．
∵S_△ABM=12，∴

1

2

|

AB

|•d=

1

2

×4

2

×

2

|a²-1|=12，解得a=±2，
故所求a的值為±2．

點評：本題考查兩個向量坐標形式的運算法則，證明三點共線的方法，向量的模及點到直線的距離公式的應用，體現了轉化的數學思想，準確進行坐標運算，是解題的難點和關鍵．