Question

A、B為x、y軸上兩動點，|AB|=10，點M為AB中點，已知點P（10，0），C（6，3），則

1

2

|PM|+|CM|的最小值為

 

．

Answer 1

考點：兩點間距離公式的應用

專題：直線與圓

分析：點A，B分別為x軸和y軸上的兩個動點，滿足|AB|=10，點M為線段AB的中點，可得點M的軌跡方程為x²+y²=25．連接OC交⊙M于點M₁，可知：點C到M₁的距離最短．設⊙M與x軸交于點M₀．則|PM₀|最短．猜測：使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值在點M₀與M₁之間，當CM⊥PC時，可使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值，求出即可．

解答： 解：∵點A，B分別為x軸和y軸上的兩個動點，滿足|AB|=10，點M為線段AB的中點，
∴點M的軌跡方程為x²+y²=25．
連接OC交⊙M于點M₁，可知：點C到M₁的距離最短．
設⊙M與x軸交于點M₀．則|PM₀|最短．
猜測：使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值在點M₀與M₁之間，當CM⊥PC時，可使

1

2

|PM|+|CM|取得最小值，
k_PC=

3

6-10

=-

3

4

，∴k_CM=

4

3

．
∴直線CM的方程為：y-3=

4

3

(x-6)，化為4x-3y-15=0．
聯立

4x-3y-15=0 x2+y2=25

，解得

x= 24 5 y= 7 5

．
∴|PM|=

(10- 24 5 )2+( 7 5 )2

=

29

，|CM|=2．
∴

1

2

|PM|+|CM|=

1

2

29

+2．
故答案為：

1

2

29

+2．

點評：本題考查了圓的性質、兩點之間的距離公式、直線與圓相交問題，考查了猜想能力，考查了推理能力與計算能力，屬于難題．