Question

（1+x）ⁿ的展開式中，x^k的系數可以表示從n個不同物體中選出k個的方法總數．下列各式的展開式中x⁸的系數恰能表示從重量分別為1，2，3，4，…，10克的砝碼（每種砝碼各一個）中選出若干個，使其總重量恰為8克的方法總數的選項是（　　）

A．（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）

B．（1+x）（1+2x）（1+3x）…（1+10x）

C．（1+x）（1+2x²）（1+3x³）…（1+10x¹⁰）

D．（1+x）（1+x+x²）（1+x+x²+x³）…（1+x+x²+…+x¹⁰）

Answer 1

分析：x⁸是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰ 中的、指數和等于8 的那些項的乘積構成，有多少種這樣的乘積，就有多少個 x⁸．而各個這樣的乘積，分別對應從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個）中，選出若干個表示8克的方法，從而得出結論．

解答：解：x⁸是由x、x²、x³、x⁴、x⁵、x⁶、x⁷、x⁸、x⁹、x¹⁰ 中的、
指數和等于8 的那些項的乘積構成，
有多少種這樣的乘積，就有多少個 x⁸．
各個這樣的乘積，分別對應從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個）中，
選出若干個表示8克的方法．
故“從重量1、2、3、…10克的砝碼（每種砝碼各一個）中選出若干個．
使其總重量恰為8克的方法總數”，
就是“（1+x）（1+x²）（1+x³）…（1+x¹⁰）”的展開式中x⁸的系數”，
故選 A．

點評：本題主要考查排列、組合、二項式定理的應用，體現了轉化的數學思想，屬于中檔題．