Question

設a_n為二項式（1+x）ⁿ的展開式中含x^n-2項的系數，則

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=

 

．

Answer 1

分析：利用二項展開式的通項公式求出展開式的通項，令x的指數為n-2求出a_n，進一步求出

1

an

，利用裂項法求出數列的前n項的和．

解答：解：（1+x）ⁿ的展開式的通項為T_r+1=C_n^rx^r
∴an=

C

n-2 n

=

C

2 n

=

n(n-1)

2

∴

1

an

=

2

n(n-1)

=2(

1

n-1

- 

1

n

)
∴

1

a2

+

1

a3

+…+

1

an

=2[（1-

1

2

）+(

1

2

-

1

3

)+(

1

3

-

1

4

)+…+(

1

n-1

-

1

n

)]
=

2(n-1)

n

故答案為

2(n-1)

n

點評：本題考查利用二項展開式的通項公式解決展開式的特定項問題、利用裂項求和求數列的前n項和．