Question

已知（1+x）ⁿ的展開(kāi)式中，第二、三、四項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，則n等于（　　）

• A、7
• B、7或2
• C、6
• D、6或14

Answer 1

分析：由二項(xiàng)式定理，可得（1+x）ⁿ的展開(kāi)式的第二、三、四項(xiàng)的系數(shù)，再結(jié)合題意，其展開(kāi)式的第二、三、四項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，可得
n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

；解可得答案．

解答：解：根據(jù)題意，（1+x）ⁿ的展開(kāi)式為T(mén)_r+1=C_n^rx^r，
則第二、三、四項(xiàng)的系數(shù)分別為C_n¹、C_n²、C_n³，
即n、

n(n-1)

2

、

n(n-1)(n-2)

6

；
又由這三項(xiàng)的系數(shù)成等差數(shù)列，
即n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

；
解可得：n=7，n=0（舍）n=2（舍）；
故選A．

點(diǎn)評(píng)：本題考查二項(xiàng)式定理的運(yùn)用，難點(diǎn)在于解關(guān)于n的方程n+

n(n-1)(n-2)

6

=2×

n(n-1)

2

，注意化簡(jiǎn)的技巧即可．