Question

【題目】已知函數f（x）ax﹣lnx（a∈R）.

（1）若a＝2時，求函數f（x）的單調區間；

（2）設g（x）＝f（x）1，若函數g（x）在上有兩個零點，求實數a的取值范圍.

Answer 1

【答案】（1）單調遞減區間為（0，1），單調遞增區間為（1，+∞）（2）（3，2e]

【解析】

（1）當a＝2時，求出，求解，即可得出結論；

（2）函數在上有兩個零點等價于a＝2x在上有兩解，構造函數，，利用導數，可分析求得實數a的取值范圍.

（1）當a＝2時，定義域為，

則，令，

解得x1，或x1（舍去），

所以當時，單調遞減；

當時，單調遞增；

故函數的單調遞減區間為，單調遞增區間為，

（2）設，

函數g（x）在上有兩個零點等價于在上有兩解

令，，則，

令，，

顯然，在區間上單調遞增，又，

所以當時，有，即，

當時，有，即，

所以在區間上單調遞減，在區間上單調遞增，

時，取得極小值，也是最小值，

即，

由方程在上有兩解及，

可得實數a的取值范圍是.