Question

已知函數f(x)=

1， x為有理數 0， x為無理數

，則關于x的不等式x²+[f（x）+f（1-x）]x+f（x）f（1-x）≤0的解集為

{-1}

．

Answer 1

分析：x為有理數，則1-x也是有理數；同樣x為無理數，則1-x也是無理數，所以f（x）=f（1-x），從而可將不等式等價變形，即可求得不等式的解集．

解答：解：x為有理數，則1-x也是有理數；同樣x為無理數，則1-x也是無理數．
所以f（x）=f（1-x）．
原不等式x²+[f（x）+f（1-x）]x+f（x）f（1-x）≤0實際就是[x+f（x）]²≤0．
即x+f（x）=0．
故只有x=-1，f（x）=1才可能．
故答案為{-1}

點評：本題考查新定義，考查不等式的解解法，解題的關鍵是理解新定義，將不等式等價變形．