Question

求證：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9．

Answer 1

分析：不等式的左邊即3+

b

a

+ 

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

，由均值不等式證得此式大于或等于9．

解答：證明：當a、b、c為正數時，（a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）=1+

b

a

+

c

a

+

a

b

+1+

c

b

+

a

c

+

b

c

+1 
=3+

b

a

+ 

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

．
由均值不等式得

b

a

+

a

b

≥2，

c

a

+

a

c

≥2，

c

b

+

b

c

≥2，
故有 3+

b

a

+ 

a

b

+

c

a

+

a

c

+

c

b

+

b

c

≥3+2+2+2=9，當且僅當正數a、b、c 全部相等時，等號成立．
故 （a+b+c）（

1

a

+

1

b

+

1

c

）≥9 成立．

點評：本題考查應用基本不等式證明不等式，注意檢驗等號成立的條件，式子的變形是解題的關鍵．