Question

矩形ABCD中，AB=2，AD=，H是AB中點，以H為直角頂點作矩形的內接直角三角形HEF，其中E，F分別落在線段BC和線段AD上，如圖．記∠BHE為θ，記Rt△EHF的周長為l．
（1）試將l表示為θ的函數；
（2）求l的最小值及此時的θ．

Answer 1

【答案】分析：（1）利用EHF是直角三角形，求得∠AFH，進而利用H是AB中點分別求得FH，EH，進而求得=1，進而推斷出當F與D重合時，θ取到最小值，當E與C重合時，θ取到最大值，進而求得l的函數解析式及定義域．
（2）sinθ+cosθ=t，代入l的解析式中，利用θ的范圍判斷出t的范圍，進而求得l的最小值和此時θ的值．
解答：解：（1）∵△EHF是直角三角形，∠BHE=θ，
∴∠AFH=θ，∵AB=2，H是AB中點，
∴AH=FHsinθ=1，FH=，同理EH=，
∴l=FH+EH+EF=++=，
當F與D重合時，θ取到最小值，當E與C重合時，θ取到最大值，
∴θ∈[，]，∴l=（θ∈[，]）；
（2）令sinθ+cosθ=t，則sinθcosθ=，∴l==，
∵θ∈[，]，∴θ+∈[，]，t=sin（θ+）∈[，]，
∴當t=時，即θ=時，l取到最小值=2（+1）．t²
點評：本題主要考查了解三角形的實際應用．涉及了通過三角函數的數學模型解決實際問題的問題．