Question

已知矩形ABCD中，AB=6，BC=6

2

，E為AD的中點沿BE將△ABE折起，使二面角A-BE-C為直二面角且F為AC的中點．
（1）求證：FD∥平面ABE；
（2）求二面角E-AB-C的余弦值．

Answer 1

分析：（1）由題意可取AB中點為M，連接MF，ME，證明DF∥ME，再由線面平行的判定定理證明FD∥平面ABE即可；
（2）在矩形ABCD中，連接AC交BE于G，在圖二中作G′H⊥AB于H，連CH，可先由向量與垂直的對應(yīng)關(guān)系在平面矩形中先證明BE與AC垂直，由于翻折不改變此垂直關(guān)系，結(jié)合面面垂直與三垂線定理證明出角GHC是二面角E-AB-C的平面角，然后在相應(yīng)的三角形中求出其余弦值的大小即可得到所求的二面角．

解答：解：（1）由題意，如圖，可取AB中點為M，連接MF，ME，由于E為AD的中點F為AC的中點
∴MF

∥

.

1

2

BC

∥

.

DE
∴四邊形MFDE是平行四邊形
∴DF∥ME，又MF?平面ABE，F(xiàn)D?平面ABE
∴FD∥平面ABE
（2）在矩形ABCD中，連接AC交BE于G，則

BE

•

AC

=(

BA

+

AE

)•(

AB

+

BC

)=-

AB

2+

AE

•

BC

=-36+36=0
∴

BE

⊥

AC

，又AB=6，BC=6

2

∴AC=6

3

，BE=3

6

∴AG=2

3

，GC=4

3

在圖二中作G′H⊥AB于H，連CH，
∵CG⊥BE，所以平面ABE⊥平面BCDE，
∴CG⊥平面ABE，
∵GH⊥AB，由三垂線定理知GH⊥AB，
∴∠GHC是二面角E-AB-C的平面角，
∵GH×AB=AG×BG，GB=2

6

∴GH=

AG×BG

AB

=

2 3 ×2 6

6

=2

2

，
∵tan∠CHG=

CG

GH

=

4 3

2 2

=

6

∴cos∠CHG=

7

7

即二面角E-AB-C的余弦值為

7

7

點評：本題考查了二面角的求法，線面平行的證明，是立體幾何中常考的題型，解題的關(guān)鍵是熟練掌握二面角平面角的作法與線面平行的判定定理，本題考查了數(shù)形結(jié)合的思想與推理證明的能力，是高考中常考的題型，難度較大，熟練掌握相關(guān)方法與技巧是解題的關(guān)鍵