Question

學校餐廳每天有500名學生就餐，每星期一有A，B兩種套餐可選，每個學生任選一種，其中A是本校的傳統套餐，B是從外校引人的套餐．調查資料表明，若在這星期一選A套餐的學生，下星期一會有

1

5

的學生改選B套餐；而選B套餐的學生，下周星期一會有r（0＜r＜

4

5

）的學生改選A套餐，用a_n，b_n分別表示在第n個星期選A套餐的人數和選B套餐的人數．
（Ⅰ）用a_n-1表示a_n；
（Ⅱ）若r=

3

10

，且選A套餐的學生人數保持不變，求a₁；
（Ⅲ）根據調查，存在一個常數k，使得數列{a_n-k}為等比數列，且k∈[250，300]，求r的取值范圍．

Answer 1

分析：（Ⅰ）由已知得

an= 4 5 an-1+rbn-1 an-1+bn-1=500

，化簡可用a_n-1表示a_n；
（Ⅱ）根據（Ⅰ）的結論，結合r=

3

10

，且選A套餐的學生人數保持不變，即可求a₁；
（Ⅲ）根據數列{a_n-k}是等比數列，可用r表示k，根據k∈[250，300]，即可求r的取值范圍．

解答：解：（I）由已知得

an= 4 5 an-1+rbn-1 an-1+bn-1=500

，∴an=

4

5

an-1+r(500-an-1)，
∴an=(

4

5

-r)an-1+500r．                  （4分）
（II）∵r=

3

10

，
∴an=

1

2

an-1+150=a_n-1
∴a_n-1=a₁=300．                 （8分）
（III）∵數列{a_n-k}是等比數列，
∴a_n-k=

4

5

（a_n-1-k），得a_n=（

4

5

-r）a_n-1+（

1

5

+r）k，
∴（

1

5

+r）k=500r，得k=

2500r

5r+1

，（11分）
∵k∈[250，300]，∴250≤

2500r

5r+1

≤300，
∴

1

5

≤r≤

3

10

．               （13分）

點評：本題考查數列知識在生產實際中的應用，理清題設中的數量關系，合理地運用數列知識進行求解是關鍵．