Question

已知橢圓的方程為，如果直線與橢圓的一個交點M在x軸的射影恰為橢圓的右焦點F，則橢圓的離心率為     ．

Answer 1

【答案】分析：根據橢圓的方程表示出c，得到F的坐標，由直線與橢圓的一個交點M在x軸的射影恰為橢圓的右焦點F得到MF⊥x軸，即F的橫坐標與M的橫坐標相等，代入直線求出M的縱坐標，把M的坐標代入橢圓方程即可求出m²，利用a²-b²=c²，求出c的值，再求出a根據橢圓離心率e=求出即可．
解答：解：由橢圓方程得到右焦點的坐標為（，0），
因為直線與橢圓的一個交點M在x軸的射影恰為橢圓的右焦點F得到MF⊥x軸，
所以M的橫坐標為，代入到直線方程得到M的縱坐標為，則M（，）
把M的坐標代入橢圓方程得：，化簡得：（m²）²+8m²-128=0即（m²-8）（m²+16）=0
解得m²=8，m²=-16（舍去），根據c===2，而a==4
所以橢圓的離心率e===
故答案為：
點評：考查學生會求直線與橢圓的交點坐標，掌握橢圓的一些簡單的性質．