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精英家教網如圖所示,已知橢圓的方程為
x2
a2
+
y2
b2
=1(a>b>0)
,A為橢圓的左頂點,B,C在橢圓上,若四邊形OABC為平行四邊形,且∠OAB=45°,則橢圓的離心率等于(  )
A、
2
2
B、
3
3
C、
6
3
D、
2
2
3
分析:由圖形知|BC|=a,且BC∥OA由橢圓的對稱性知,B,C兩點關于y軸對稱,由此可以求出兩點的坐標,再連接OC,有∠OAB=45°及平行的性質,橢圓的對稱性,令橢圓的右端點為M,則有∠COM=∠CMO=∠OAB=45°由此可得CO垂直于MC,由此垂直關系建立方程即可求得離心率的值.
解答:解:令橢圓的右端點為M,連接CM,由題意四邊形OABC為平行四邊形,且∠OAB=45°,B,C在橢圓上,可得∠COM=∠CMO=∠OAB=45°,則有∠OCM=90°,故可得kOC×kCM=-1
又四邊形OABC為平行四邊形,B,C在橢圓上,由圖形知|BC|=a,且BC∥OA由橢圓的對稱性知,B,C兩點關于y軸對稱,故C的橫坐標為
a
2
,代入橢圓的方程得
(
a
2
)
2
a2
+
y2
b2
=1
,解得y=±
3
2
b,
由圖形知C(
a
2
3
2
b),故有kOC=
3
b
2
a
2
kCM=
3
b
2
-
a
2
,所以有
3
b
2
a
2
×
3
b
2
-
a
2
=-1
解得a2=3b2,故可得c2=2b2,所以e2=
2
3
,得e=
6
3

故選C
點評:本題考查橢圓的簡單性質,求解本題的關鍵是根據橢圓的對稱性得出點C的坐標以及圖形中的垂直關系,求出點C的坐標是為了表示出斜率,求出垂直關系是為了利用斜率的乘積為-1建立方程,然后再根據求離心率的公式求出離心率即可.本題比較抽象,方法單一,入手較難,運算量不大.
練習冊系列答案
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精英家教網如圖所示,已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的3倍且經過點M(3,1).平行于OM的直線l在y軸上的截距為m(m≠0),且交橢圓于A,B兩不同點.
(1)求橢圓的方程;
(2)求m的取值范圍;

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如圖所示,已知橢圓的中心在原點,焦點在x軸上,長軸長是短軸長的3倍且經過點M(3,1).平行于OM的直線ly軸上的截距為m(m≠0),且交橢圓于AB兩不同點.

(1)求橢圓的方程;

(2)求m的取值范圍;

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如圖所示,已知橢圓的方程為 ,A為橢圓的左頂點,B,C在橢圓上,若四邊形OABC為平行四邊形,且∠OAB=45°,則橢圓的離心率等于(   )

A.            B.             C.             D.

 

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如圖所示,已知橢圓的方程為,A為橢圓的左頂點,B,C在橢圓上,若四邊形OABC為平行四邊形,且∠OAB=45°,則橢圓的離心率等于( )
A.
B.
C.
D.

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