Question

【題目】如圖，四棱錐中，底面四邊形是直角梯形，底面，，，，，為的中點.

（1）求證：平面；

（2）若直線與平面所成角的正弦值為，求二面角的余弦值.

Answer 1

【答案】（1）證明見解析，（2）.

【解析】

（1）首先利用條件證明，然后結合即可證明平面

（2）由平面可得是直線與平面所成的角，然后算出，然后以點為原點，分別以的方向為軸軸軸的正方向建立空間直角坐標系，算出平面的法向量即可.

（1）證明：因為，，所以.

又因為，所以是等腰直角三角形，

所以，.

又因為，，

所以，即.

因為底面，平面，所以.

又，所以平面.

（2）在中， ，，所以.

由（1）知，平面，

所以是直線與平面所成的角，則.

在中， ，

所以.

以點為原點，分別以的方向為軸軸軸的正方向建立空間直角坐標系.

則.

因為為的中點，所以，

所以.

設平面法向量為，

則 即

令，得.所以.

由平面，則為平面的一個法向量.

所以.

故所求二面角的余弦值為.