Question

（本題滿分15分）設函數．

（Ⅰ）若函數在上單調遞增，在上單調遞減，求實數的最大值；

（Ⅱ）若對任意的，都成立，求實數的取值范圍．

注：為自然對數的底數．

 

Answer 1

【答案】

 

（Ⅰ）b的最大值是（Ⅱ）   

【解析】本題主要考查函數的單調性、導數的運算法則、導數應用、恒成立問題等基礎知識，同時考查抽象概括、推理論證能力.

(1) 解：由題設可知，

在上單調遞增，在上單調遞減，

的最大值是

（2）令可看作關于的一次函數且單調遞增，只需即

構造函數得到結論。

（Ⅰ）解：

由題設可知，

在上單調遞增，在上單調遞減，

的最大值是

（Ⅱ）解：令

可看作關于的一次函數且單調遞增，

只需即

令則，  

令，的對稱軸為

(ⅰ)對恒成立，在上單調遞增，

，不合題意.

(ⅱ) 對恒成立，在上單調遞減，

滿足題意.

此時只需，，

.

(ⅲ)在上，在上，

即在上單調遞減，在上單調遞增.

此時只需，

又即

綜上，   

(用分離參數方法解同樣給分