Question

設函數f(x)=sin(

πx

4

-

π

6

)-2cos2

πx

8

+1．
（1）求f（x）的最小正周期．
（2）若函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，求當x∈（0，4）時y=g（x）的值域．

Answer 1

分析：（1）f（x）解析式利用兩角和與差的正弦函數公式及二倍角的余弦函數公式化簡，整理后利用兩角和與差的正弦函數化為一個角的正弦函數，找出ω的值代入周期公式即可求出最小正周期；
（2）根據f（x）與g（x）關于直線x=1對稱，得到g（x）=f（2-x），確定出g（x）解析式，根據x的范圍，利用余弦函數的值域即可確定出g（x）的值域．

解答：解：（1）f（x）=

3

2

sin

πx

4

-

1

2

cos

πx

4

-cos

πx

4

=

3

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

=

3

（

1

2

sin

πx

4

-

3

2

cos

πx

4

）=

3

sin（

πx

4

-

π

3

），
∵ω=

π

4

，∴T=8；
（2）∵函數y=g（x）與y=f（x）的圖象關于直線x=1對稱，
∴g（x）=f（2-x）=

3

sin[

π

4

（2-x）-

π

3

]=

3

cos（

πx

4

+

π

3

），
∵x∈（0，4），∴

πx

4

+

π

3

∈（

π

3

，

4π

3

），
∴-1＜cos（

πx

4

+

π

3

）＜

1

2

，即-

3

＜

3

cos（

πx

4

+

π

3

）＜

3

2

，
則y=g（x）的值域為（-

3

，

3

2

）．

點評：此題考查了二倍角的余弦函數公式，兩角和與差的正弦函數公式，三角函數的周期性及其求法，以及正弦函數的對稱性，熟練掌握公式是解本題的關鍵．