Question

將邊長為2，一個內角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成四面體ABCD，點E、F分別為AC、BD 的中點，則下列命題中正確是

①③④

（填上你認為正確的所有答案序號）
①EF與AC和BD都垂直；             ②EF∥AB；
③AC垂直于截面BDE；               ④當四面體ABCD的體積最大時，AC=

6

．

Answer 1

分析：畫出圖形，利用翻折前后線面關系，角的關系，逐一分析各個選項的正確性，把正確的選項找出來．

解答：解：由等腰三角形的中線性質得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，且EF⊥AC，故①正確；
如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故②不正確；
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故③正確；
當四面體ABCD的體積最大時，因為等邊△ABD的面積為定值，
故面SBD⊥面ABD，CF為四面體的高，
AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故④正確．
故答案為：①③④．

點評：本題考查棱錐的結構特征，注意在翻折過程中哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化；位于折線同側的元素關系不變，位于折線兩側的元素關系會發生變化．