Question

將邊長為2，一個內角為60°的菱形ABCD沿較短對角線BD折成四面體ABCD，點E，F分別為AC，BD的中點，則下列命題中正確的是

 

．
①EF∥AB；
②EF⊥BD；
③EF有最大值，無最小值；
④當四面體ABCD的體積最大時，AC=

6

； 
⑤AC垂直于截面BDE．

Answer 1

分析：畫出圖形，利用翻折前后線面關系，角的關系，逐一分析各個選項的正確性，把正確的選項找出來．

解答：解：如圖：由題意得，EF與AB是異面直線，故①不正確．
由等腰三角形的中線性質得 CF⊥BD，AF⊥BD，DB⊥面ACF，
又EF?面ACF，
∴EF⊥BD，故②正確．
EF是等腰三角形FAC的底邊上的中線，∴EF⊥AC，由于 FA=FC=

3

，
斜邊AC的長度不定，
故 EF無最大值，也無最小值，故③不正確．
當四面體ABCD的體積最大時，因為等邊△ABD的面積為定值，
故面CBD⊥面ABD時，CF為四面體的高，AC=

CF2+FA2

=

3+3

=

6

，故④正確．
由DB⊥面ACF 得，DB⊥AC，又EF⊥AC，∴AC⊥面EBD，故⑤正確．
綜上，②④⑤正確，
故答案為 ②④⑤．

點評：本題考查棱錐的結構特征，注意在翻折過程中哪些量發生了變化，哪些量沒有發生變化；位于折線同側的
元素關系不變，位于折線兩側的元素關系會發生變化，屬于中檔題．