Question

已知函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．若x∈[0，2]時(shí)，f（x）≥a²（1-x）恒成立．則實(shí)數(shù)a的取值范圍

 

．

Answer 1

考點(diǎn)：二次函數(shù)的性質(zhì),函數(shù)恒成立問題

專題：函數(shù)的性質(zhì)及應(yīng)用

分析：首先根據(jù)條件對(duì)不等式進(jìn)行變形，整理成x²+1≥（-a²+2a+1）x，進(jìn)一步進(jìn)行分類討論，利用基本不等式求出結(jié)果．

解答： 解：函數(shù)f（x）=x²-2（a+1）x+a²+1，x∈R．若x∈[0，2]時(shí)，f（x）≥a²（1-x）恒成立
則：x²-2（a+1）x+a²+1≥a²（1-x）
整理得：x²+1≥（-a²+2a+1）x，
①當(dāng)x=0時(shí)，上式恒成立．
②當(dāng)0＜x≤2時(shí)，-a2+2a+2≤x+

1

x

．
∵x+

1

x

≥2，（x=1 時(shí)取等）
∴-a²+2a+2≤2，即a≤0或a≥2
綜上：a≤0或a≥2
故答案為：a≤0或a≥2

點(diǎn)評(píng)：本題考查的知識(shí)要點(diǎn)：分離參數(shù)法的應(yīng)用，基本不等式的應(yīng)用，屬于基礎(chǔ)題型．