Question

將圓上的點的橫坐標保持不變，縱坐標變為原來的倍，得到曲線．設直線與曲線相交于、兩點，且，其中是曲線與軸正半軸的交點．

（Ⅰ）求曲線的方程；

（Ⅱ）證明：直線的縱截距為定值．

Answer 1

;

解析:

（Ⅰ）設所求曲線上的任一點坐標為，圓上的對應點的坐標為，由題意可得，                                     

，，即 

曲線的方程為．                                  

（Ⅱ），顯然直線與軸不垂直，設直線，與橢圓:相交于，

由 得，              

，                             ，，

即：

，

，

整理得：，             

即，

，，

展開得：，，

直線的縱截距為定值．