Question

19．已知雙曲線C：$\frac{{x}^{2}}{{a}^{2}}$-$\frac{{y}^{2}}{{b}^{2}}$=1（a＞0，b＞0）的左焦點為F，過點F作雙曲線C的一條漸近線的垂線，垂足為H，點P在雙曲線上，且$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FH}$則雙曲線的離心率為（　　）

• A． $\sqrt{3}$
• B． 2$\sqrt{3}$
• C． $\frac{\sqrt{13}}{2}$
• D． $\sqrt{13}$

Answer 1

分析 根據向量條件，求出P的坐標，代入雙曲線方程，即可得出結論．

解答 解：由題意，設P（x，y），直線FH的方程為y=$\frac{a}{b}$（x+c），
與漸近線y=-$\frac{b}{a}$x聯立，可得H的坐標為（-$\frac{{a}^{2}}{c}$，$\frac{ab}{c}$），
∵$\overrightarrow{FP}$=3$\overrightarrow{FH}$，
∴（x+c，y）=3（-$\frac{{a}^{2}}{c}$+c，$\frac{ab}{c}$），
∴x=-$\frac{3{a}^{2}}{c}$+2c，y=$\frac{3ab}{c}$，
代入雙曲線方程可得，$\frac{（-\frac{3{a}^{2}}{c}+2c）^{2}}{{a}^{2}}-\frac{9{a}^{2}}{{c}^{2}}$=1，
化簡可得$\frac{4{c}^{2}}{{a}^{2}}$=13，
∴e=$\frac{c}{a}$=$\frac{\sqrt{13}}{2}$．
故選C．

點評 本題考查雙曲線的方程與性質，考查向量知識的運用，確定P的坐標是關鍵．