Question

【題目】某物流公司專營從甲地到乙地的貨運業務（貨物全部用統一規格的包裝箱包裝），現統計了最近100天內每天可配送的貨物量，按照可配送貨物量T（單位：箱）分成了以下幾組：，，，，，，并繪制了如圖所示的頻率分布直方圖（同一組數據用該組數據的區間中點值作代表，將頻率視為概率）.

（1）該物流公司負責人決定用分層抽樣的方法從前3組中隨機抽出11天的數據來分析可配送貨物量少的原因，并從這11天的數據中再抽出3天的數據進行財務分析，求這3天的數據中至少有2天的數據來自這一組的概率.

（2）由頻率分布直方圖可以認為，該物流公司每日的可配送貨物量T（單位：箱）服從正態分布，其中近似為樣本平均數.

（ⅰ）試利用該正態分布，估計該物流公司2000天內日貨物配送量在區間內的天數（結果保留整數）.

（ⅱ）該物流公司負責人根據每日的可配送貨物量為公司裝卸貨物的員工制定了兩種不同的工作獎勵方案.

方案一：直接發放獎金，按每日的可配送貨物量劃分為以下三級：時，獎勵50元；，獎勵80元；時，獎勵120元.

方案二：利用抽獎的方式獲得獎金，其中每日的可配送貨物量不低于時有兩次抽獎機會，每日的可配送貨物量低于時只有一次抽獎機會，每次抽獎的獎金及對應的概率分別為

獎金	50	100
概率

小張恰好為該公司裝卸貨物的一名員工，試從數學期望的角度分析，小張選擇哪種獎勵方案對他更有利？

附：若，則，.

Answer 1

【答案】（1）（2）（ⅰ）天（ⅱ）小張選擇方案二更有利

【解析】

（1）由分層抽樣知識可知，這11天中前3組的數據分別有1個，4個，6個，即可求得相應的概率；

（2）（ⅰ）由，可得的值，得到日貨物配送量在區間內的天數；（ⅱ）由，方案一，設小張每日可獲得的獎金為的可能取值，求得期望值；方案二，設小張每日可獲得的獎金為的所有可能取值，求得相應的概率，得出分布列，利用公式求得數學期望，比較兩個期望值的大小，即可求解.

（1）由分層抽樣知識可知，這11天中前3組的數據分別有1個，4個，6個，

所以至少有2天的數據來自這一組的概率概率為.

（2）（ⅰ）由題得，

所以.

故2000天內日貨物配送量在區間內的天數為.

（ⅱ）易知.

對于方案一，設小張每日可獲得的獎金為元，則的可能取值為50，80，120，

其對應的概率分別為0.25，0.6，0.15，

故.

對于方案二，設小張每日可獲得的獎金為元，則的所有可能取值為50，100，150，200，

故，，

，.

所以的分布列為

	50	100	150	200

所以.

因為，

所以從數學期望的角度看，小張選擇方案二更有利.