Question

△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，則b邊所對的角為（　　）

A．銳角

B．鈍角

C．直角

D．不能確定

Answer 1

分析：方法一：使用余弦定理，由已知求出 b=

2ac

a+c

，計算cosB=

a2+c2-b2

2ac

的符號，進而可求B的范圍
方法二：反證法，假設 B≥

π

2

，則 b為最大邊，有b＞a＞0，b＞c＞0，結合已知進行推導可求
方法三：反證法由題意可得

2

b

=

1

a

+

1

c

，故b邊不是最大邊，也不是最小邊．假設B≥

π

2

，則最大邊所對的角大于

π

2

，這與三角形內角和相矛盾，從而可得

解答：解：方法一：由題意可得

1

a

+

1

c

=

2

b

．
∴b=

2ac

a+c

，
∵a2+c2-b2=a2+c2-(

2ac

a+c

)2≥2ac-

4a2c2

(a+c)2

=2ac(1-

2ac

(a+c)2

)≥2ac(1-

2ac

4ac

)＞0．
即cosB=

a2+c2-b2

2ac

＞0
故 B＜

π

2

法2：反證法：假設 B≥

π

2

則有b＞a＞0，b＞c＞0．
則

1

b

＜

1

a

，

1

b

＜

1

c

可得

2

b

＜

1

a

+

1

c

與已知矛盾，
假設不成立，原命題正確．
（法三）∵△ABC的三邊a，b，c的倒數成等差數列，
∴

2

b

=

1

a

+

1

c

，故b邊不是最大邊，也不是最小邊．
若B≥

π

2

，則最大邊所對的角大于

π

2

，這與三角形內角和相矛盾，故 B＜

π

2

．

點評：本題主要考查了利用余弦定理解三角形，其中方法一 使用余弦定理直接求解，方法二、三，使用反證法，方法二，三比較簡單．