Question

（2013•淄博一模）已知向量

p m

=（sin（A-B），sin（

π

2

-A）），

p n

=（1，2sinB），

p m

•

p n

=-sin2C，其中A，B，C分別為△ABC的三邊a，b，c所對的角．
（Ⅰ）求角C的大��；
（Ⅱ）若sinA+sinB=2sinC，且S_△ABC=

3

，求邊c的長．

Answer 1

分析：（I）根據平面向量的坐標運算公式，可得sin（A-B）+2sin（

π

2

-A）sinB=-sin2C，利用誘導公式和兩角和與差的正弦公式化簡得sin（A+B）=-2sinCcosC，結合sin（A+B）=sinC算出cosC=-

1

2

，從而得到角C的大小為

2π

3

；
（II）根據正弦定理的面積公式，結合已知條件算出ab=4，再利用余弦定理算出c²=（a+b）²-ab．而由sinA+sinB=2sinC結合正弦定理得a+b=2c，從而得到關于c的方程，解之即可得到邊c=

2 3

3

．

解答：解：（I）∵向量

p m

=（sin（A-B），sin（

π

2

-A）），

p n

=（1，2sinB），
∴

p m

•

p n

=sin（A-B）+2sin（

π

2

-A）sinB=-sin2C，
即sinAcosB-cosAsinB+2cosAsinB=sin2C，
可得sin（A+B）=-2sinCcosC
∵A+B=π-C，可得sin（A+B）=sinC
∴sinC=-2sinCcosC，結合sinC＞0可得cosC=-

1

2

∵C∈（0，π），∴C=

2π

3

，即角C的大小為

2π

3

；
（II）∵S_△ABC=

1

2

absinC=

3

，且C=

2π

3

，∴ab=4
由余弦定理，得c²=a²+b²-2abcos

2π

3

=（a+b）²-ab
∵sinA+sinB=2sinC，∴根據正弦定理，得a+b=2c，
由此可得：c²=（a+b）²-ab=4c²-4，得3c²=4，解之得c=

2 3

3

．

點評：本題給出向量含有三角函數的坐標形式，在已知數量積的情況下求角C的大小并依此解三角形，著重考查了平面向量數量積運算公式和運用正余弦定理解三角形等知識，屬于中檔題．